云峰的餐盒饭问题
在云风的blog上看到一个 有趣的概率问题 , 用概率学分析一下这个问题</em>
问题描述
有四份盒饭: 三份牛展, 一份是香菇, 我不知道我的盒饭是什么, 也不知道其他员工的盒饭是什么. 请问:
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我的盒饭是牛展的概率是多少
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如果员工A的盒饭是牛展, 请问我的盒饭是牛展的概率是多少
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如果员工A, B的盒饭都是牛展, 请问我的盒饭是牛展的概率是多少
样本空间
分析离散概率问题最好的方法是把样本空间罗列出来:
事件 | 我 | 员工A | 员工B | 员工C |
---|---|---|---|---|
$E_1$ |
香菇 |
牛展 |
牛展 |
牛展 |
$E_2$ |
牛展 |
香菇 |
牛展 |
牛展 |
$E_3$ |
牛展 |
牛展 |
香菇 |
牛展 |
$E_4$ |
牛展 |
牛展 |
牛展 |
香菇 |
这里假设 $ E_1, E_2, E_3, E_4 $ 发生的概率是一样的, 都是1/4
事件
通过简单的查表操作就可以得到:
$ P(I) = E_2∪E_3∪E_4, \{ I = 我的盒饭是牛展 \} $ $ P(A) = E_1∪E_3∪E_4, \{ A = 员工A的盒饭是牛展 \} $ $ P(B) = E_1∪E_4, \{ B = 员工A, B的盒饭都是牛展 \} $
条件概率
条件概率就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
计算结果
有了这些知识, 计算开始那三个问题就非常容易了
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我的盒饭是牛展的概率是多少
$P(I) = \frac{E_{2} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4}}{U} = \frac{3}{4}$
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如果员工A的盒饭是牛展, 请问我的盒饭是牛展的概率是多少
$P(I|A) = \frac{( E_{2} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4} ) \bigcap ( E_{1} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4} )}{E_{1} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4}} = \frac{( E_{3} \bigcup E_{4} )}{E_{1} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4}} = \frac{2}{3}$
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如果员工A, B的盒饭都是牛展, 请问我的盒饭是牛展的概率是多少
$P(I|B) = \frac{( E_{2} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4} ) \bigcap ( E_{1} \bigcup E_{4} )}{E_{1} \bigcup E_{4}} = \frac{E_{4}}{E_{1} \bigcup E_{4}} = \frac{1}{2}$