云峰的餐盒饭问题

在云风的blog上看到一个 有趣的概率问题 , 用概率学分析一下这个问题</em>

问题描述

有四份盒饭: 三份牛展, 一份是香菇, 我不知道我的盒饭是什么, 也不知道其他员工的盒饭是什么. 请问:

• 我的盒饭是牛展的概率是多少

• 如果员工A的盒饭是牛展, 请问我的盒饭是牛展的概率是多少

• 如果员工A, B的盒饭都是牛展, 请问我的盒饭是牛展的概率是多少

样本空间

分析离散概率问题最好的方法是把样本空间罗列出来:

这里假设 $ E_1, E_2, E_3, E_4 $ 发生的概率是一样的, 都是1/4

事件

通过简单的查表操作就可以得到:

$ P(I) = E_2∪E_3∪E_4, \{ I = 我的盒饭是牛展 \} $ $ P(A) = E_1∪E_3∪E_4, \{ A = 员工A的盒饭是牛展 \} $ $ P(B) = E_1∪E_4, \{ B = 员工A, B的盒饭都是牛展 \} $

条件概率

条件概率就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

计算结果

有了这些知识, 计算开始那三个问题就非常容易了

• 我的盒饭是牛展的概率是多少

$P(I) = \frac{E_{2} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4}}{U} = \frac{3}{4}$

• 如果员工A的盒饭是牛展, 请问我的盒饭是牛展的概率是多少

$P(I|A) = \frac{( E_{2} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4} ) \bigcap ( E_{1} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4} )}{E_{1} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4}} = \frac{( E_{3} \bigcup E_{4} )}{E_{1} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4}} = \frac{2}{3}$

• 如果员工A, B的盒饭都是牛展, 请问我的盒饭是牛展的概率是多少

$P(I|B) = \frac{( E_{2} \bigcup E_{3} \bigcup E_{4} ) \bigcap ( E_{1} \bigcup E_{4} )}{E_{1} \bigcup E_{4}} = \frac{E_{4}}{E_{1} \bigcup E_{4}} = \frac{1}{2}$